De l'intérêt des mathématiques à l'école


Je pense que l'un des intérêts majeurs des Mathématiques à l'école est de confronter les élèves à des difficultés qui le grandiront si elles sont amenées intelligemment.

En effet, jusqu'à la fin du secondaire, les objectifs de l'enseignement des matières scientifiques sont d'acquérir un socle commun de connaissances et aider les élèves à développer certaines qualités.

Je parle de qualités d'attention, d'analyse et d'abstraction. ; Mais aussi et surtout de capacités à apprendre et à résoudre des problèmes

Ne pas retenir les noms et les théorèmes de Pythagore ou de Thalés n'est pas très important. Avoir été obligé, pour résoudre un problème, d'utiliser le raisonnement implicatif et en avoir perçu la force et donc l'intérêt servira, par contre, toujours l'élève quoiqu'il fasse.

Savoir appliquer correctement une formule, tenir proprement son cahier et bien écouter l'enseignant sont importants mais ne sont pas des fins en soi, cela ne peut-être que des outils pour atteindre des objectifs plus ambitieux. Ceci seront entre autres : Apprendre à apprendre et surtout se confronter à cette terra incognita qui est d'apprendre à chercher et d'apprendre à résoudre.

En effet si la capacité à résoudre des problèmes est probablement inscrite dans les gènes de l'homme, chacun doit développer ses propres méthodes de résolution.

Comment faire ?


Il semblerait que le meilleur outil soit la confrontation à la difficulté d'un exercice. En cherchant, nous créons et renforçons des architectures neuronales particulières aptes à résoudre.

L'élève et surtout celui qui est en échec scolaire n'a pas envie de se confronter à cette difficulté. Il n'a pas envie de se confronter, encore une fois, à son incapacité. Le travail de l'enseignant sera de soumettre à l'étudiant des exercices ni trop dur ni trop facile et surtout de le soutenir dans ce travail de confrontation qui demande beaucoup d'énergie et de volonté.

Si l'ambition de l'enseignant ne dépasse pas l'apprentissage de règles ou de formules, son enseignement risque d'être contre-productif et ne servira qu'à retarder et perturber l'évolution des élèves les plus prometteurs.

Apprendre à résoudre


Ca veut dire quoi ?

Pour la plupart des élèves, cela revient à appliquer des formules ou encore des techniques de résolution que l'on apprend de l'enseignant et qu'on applique tel quel.

Face à un problème, on sait résoudre ou on ne sait pas, mais passer soi-même d'un état ou l'on ne sait pas à un état ou l'on sait suppose des qualités qu'ils n'imaginent pas pouvoir acquérir.

Pour eux, les bons élèves ont des dons innés, ils n'ont d'ailleurs pas besoin de travailler et ont toujours les meilleures notes.

Un problème c'est d'abord un énoncé qu'il faut avoir compris. Des qualités d'attention, d'analyse et d'abstraction sont ici nécessaires. Il faut ensuite être capable d'expliciter les informations qui nous manquent et les trouver. Cette étape comporte deux actions qui sont toutes les deux complexes.

Une fois que j'ai fais tout cela, que j'ai compris le problème et amassé l'information qui me manque, il me faut "voir" la solution. Opération magique que l'on ne comprend pas mais qui est certainement une des capacités cognitives la plus supérieure de notre cerveau.

Exemple: A partir du théorème de Pythagore, trois exemples de résolution d'un problème :

Enoncé du théorème :

Dans un triangle ABC rectangle en C, l'hypoténuse (le grand côté) au carré est égale à la somme des deux autres côtés au carré.

AB² = AC² +BC²

1) Soit AC=3 et BC= 4 calculez AB

Ce premier exercice est une application directe du cours et contient déjà de nombreuses difficultés. Pour certains, le théorème représente une suite de mots qui n'a aucun sens. Il faut le leur faire visualiser en leur donnant un exemple qu'il faut complètement décomposer ; Ce côté s'appelle AC, il mesure 3 cm et si je le multiplie par lui-même cela s'appelle mettre au carré... etc.

Ne vous trompez pas, les élèves qui ont ce type de difficulté ne sont pas bêtes, ils ont un tel rejet des maths qu'ils vont refuser de porter attention au théorème et partant de là à une difficulté potentielle. Ils vont déclarer que de toute-façon ils n'y comprennent rien, que c'est presque physique et qu'ils n'y peuvent rien.

Ce premier exemple des difficultés d'un élève est plus commun qu'on ne le croit. Il se retrouve à des niveaux très différents et s'apparente, à mon sens, au refus que nous mettons parfois à "voir" certaines choses.

2) Soit AB=5 et BC=4 Calculez AC

En appliquant le théorème certains élèves vont penser que l'on met la distance cherchée en premier. Ils vont écrire :

AC² = AB² + BC²

La difficulté est une difficulté d'attention. Cet exercice en perturbant l'élève le force à mieux comprendre le théorème. Elle le force à remettre en question sa première compréhension pour lui en substituer une autre. Ce qui n'est pas évident car les étudiants ont souvent tendance à s'accrocher à leur première compréhension qui est presque toujours partielle. On peut donc développer une nouvelle faculté cognitive.

3)Soit AD=4 , DC=5 et BC=6. Trouvez AB.


AB est demandé et ne peut être trouvé directement. Cet exemple est simple mais on peut bien sûr le compliquer en gardant l'idée de cette difficulté.

La plupart des élèves vont s'arrêter ici. Ils ne vont pas écrire :

AB² = AC² + BC²

Ce qui leur aurait permis d'identifier ce qui leur manque et faciliter l'apparition de la solution.

Ils vont écrire cette équation dans leur tête et puisqu'ils n'ont qu'une mesure sur les trois, ils vont décréter qu'il n'y a pas de solution ou bien qu'ils ne savent pas.

Etre capable, de ne plus se focaliser sur la question, calculer grâce aux données une mesure non demandée qui permettra de répondre à la question posée, voilà une entreprise cognitive complexe qui nécessite un apprentissage.

On peut bien sur, montrer à l'élève comment faire. Par contre si vous lui présenter le même type de difficulté utilisant une autre notion de cours, il n'est pas sur qu'il arrivera, alors, à répondre.

Notre cerveau est composé de cellules nerveuses parcourues par un courant électrique, le potentiel d'action. Résoudre un problème est la propriété émergente de parcours particuliers du potentiel d'action. Il est en effet probable que trouver la solution d'un exercice revient à créer ou parfois plutôt renforcer une architecture neuronale particulière sollicitée par des paquets de décharge du potentiel d'action dans ses cellules.

Des parcours du potentiel d'action dans un réseau de neurones va naître une propriété émergente du système qui est simplement ce quelque chose qui est la résultante des interactions des parties (les neurones) d'un système, liées entre elles par les parcours des potentiels d'actions selon des chemins et un rythme particulier.

Les capacités cognitives s'inscrivent au sens propre dans la chair de l'homme, le développement de celles-ci prend donc du temps (voyez le temps nécessaire à l'enfant pour fixer les architectures neuronales qui lui permettront de marcher ou parler).

Il est donc très important d'expliquer aux élèves que si leur incapacité à trouver la solution de problèmes est réelle, elle peut être temporaire. En fournissant l'énergie nécessaire, ils peuvent acquérir les capacités qui leur manquent.

Nicolas Lavoisier

Diplômé des Ecoles polytechniques de Montréal et Grenoble