De la résolution de problèmes en mathématiques


La résolution de problème est un Art en ce sens ou nous devons utiliser en même temps des facultés analytiques, intuitives et esthétiques. Une personne qui ne serait qu'analytique ne serait qu'un bon technicien, à l'inverse une personne uniquement intuitive manquerait de rigueur et de techniques pour conduire une résolution. Les capacités utilisées sont parmi les plus hautes de l'esprit humain et si l'on ne restreint pas celles-ci aux Mathématiques, elles sont celles qui permettent l'évolution.

Un certain nombre de règles peuvent être respectées pour nous aider dans la résolution d'un problème :

L'esprit doit être comme de l'eau

Dans la résolution de problèmes, l'esprit ne doit surtout pas se focaliser sur la question posée sous peine de gêner la libre association des idées. L'esprit doit être tendu par la volonté de trouver mais ne doit pas se bloquer sur la nécessité de trouver. En effet, un tel esprit ne trouverait rien ; les libres associations ne se feraient pas ou alors l'étudiant n'en aurait pas conscience. Il est contre productif de dire à un élève de réfléchir ; d'une part on ne sait pas ce que cela veut dire, d'autre part l'élève utilise alors une part importante de son cerveau à se dire qu'il doit réfléchir sans plus pouvoir prendre conscience des relations que son cerveau peut faire entre les données de l'exercice et son propre savoir.

Il faudrait voir notre cerveau comme une boite noire à laquelle nous fournirions des données et qui nous fourniraient les résultats d'associations entre les données et nos savoirs dont une autre partie de notre cerveau doit prendre conscience et tester. Notre esprit doit être souple et le plus neutre possible, un peu comme l'eau qui s'adapte parfaitement au milieu dans lequel on la met, notre esprit doit s'attacher parfaitement à chaque élément de l'énoncé de manière à ce qu'il y ait le moins d'interférence possible (connaissances et compréhension a-priori du problème) entre les termes de l'énoncé et la représentation graphique ou symbolique que l'on va en faire et qui seront les briques initiales (les fondations) de notre résolution.

Pour être capable de chercher l'élève doit accepter de ne pas trouver

La machine est fragile et à la moindre interférence, elle se grippe.

L'interférence la plus importante est la peur de ne pas trouver.

La peur de ne pas trouver est souvent chez l'élève, une peur de ne pas maîtriser, de ne pas contrôler, en fait d'être dans l'incertitude (je pense qu'elle peut être relié à la peur de la mort). Cette crainte par sa mobilisation du cerveau va empêcher l'élève de prendre conscience des associations que peut faire celui-ci.

L'esprit doit être le plus neutre possible, débarrassé de la peur et des savoirs a-priori, ce qui lui permettra d'utiliser et même de développer les potentialités exploratrices de son cerveau.

Parfois on a l'impression que cette peur de ne pas trouver est directement liée à la volonté de l'élève de ne pas se percevoir comme mauvais et de ressentir, une fois de plus, l'émotion non gratifiante d'être « nul ». Dans un tel cas, on a parfois l'impression que l'élève coupe la liaison entre la lecture des termes de l'énoncé et une première représentation (compréhension) que pourrait en faire son cerveau. L'élève a lu sans lire, il vous dit qu'il ne comprend pas mais ne sait même pas de quoi parle le sujet.

Posture

L'élève doit en premier lieu être le plus présent possible. La présence de l'esprit s'exprime et se renforce par la présence du corps. Un élève avachi n'est pas prêt. Le dos doit être droit et la respiration aisée ; le corps bien que droit ne doit pas être crispée, au contraire il doit être détendu. Ces éléments de posture corporelle peuvent vous sembler étranges ici, pourtant faites l'expérience vous-même, cherchez la position corporelle qui vous permet la meilleure concentration. Vous vous apercevrez d'une part qu'elle existe et d'autre part qu'elle est liée à la respiration.

Lecture de l'énoncé

Je conseille une première lecture rapide qui permet au cerveau de commencer à travailler, lors de cette première lecture et dans la suivante aussi il faudrait ne pas lire la question..

En effet même si dans la très grande majorité des cas, c'est la lecture de la question qui donne la direction de la résolution, c'est aussi elle qui est le premier élément bloquant du cerveau. Dans l'absolue le meilleur moyen de ne pas « stresser » le cerveau serait de deviner la question Dans la réalité il faut lire la question pour en tirer toute l'information possible tout en étant capable de ne pas s'appesantir ou se figer sur celle-ci.

La seconde lecture doit être très attentive. Chaque mot et chaque virgule doivent être conscientisés et explicités. L'enseignant peut proposer une reformulation, pour avoir une idée du niveau de compréhension de l'élève.

Attaque

Il est important de savoir que dans un problème de Mathématiques toutes les données sont dans l'énoncé. (Je parle bien sûr des problèmes donnés en classe).

Après la lecture de l'énoncé, l'étape suivante est de transcrire les données en écriture mathématiques. Cette étape a deux intérêts principaux, clarifier l'énoncé et surtout par une représentation différente d'une même réalité donner au cerveau d'autres possibilités d'associations et donc de pistes potentielles. Une représentation graphique aura le même intérêt. Dans cette étape la part de l'apprentissage du vocabulaire Mathématique et de ses règles est primordiale et l'enseignant a ici une place importante pour aider l'élève a réaliser correctement ce transcodage. Transcodage qui n'est pas facile car il faut interpréter correctement les sens multiples des mots et phrases en Français pour des sens univoques en Mathématiques.

Dans la plupart des cas, cette étape suffit pour résoudre un problème. La réécriture de l'énoncé mettra en évidence ce que l'on sait et ce que l'on ne sait pas et éclaira la question posée.

Réfléchir

Si la résolution n'apparaît pas immédiatement, l'élève devra procéder par essai erreur. Il devra tester toutes les idées que pourrait avoir son cerveau et voir jusqu'où elles peuvent le mener. J'appellerai cette étape « réfléchir » dans le sens où l'élève va examiner le retour d'une idée confrontée à la réalité de l'exercice.

Cette étape n'est pas complexe en soi mais difficile à mettre en œuvre.

-Elle n'est pas complexe car il suffit en effet à l'élève de tester différentes idées en étant rigoureux dans leur application et en acceptant de suivre les chemins où l'entraînent ces idées. La résolution mathématique est en effet une aventure, dans les exercices les plus intéressant nous ne pouvons pas faire abstraitement toute la résolution en avance (un peu comme un joueur d'échec qui prévoirait tous les coups). Il y a des paramètres qu'on ne prévoit pas et puis surtout en écrivant une tentative de résolution, il vient au cerveau des idées nouvelles ou bien l'on se rend compte d'impossibilités. Il faut avancer pas à pas, le plus lentement possible afin de ne surtout pas faire d'erreurs de calculs ou de logique. Ces erreurs et les difficultés où elles mènent induisent souvent l'élève à penser que c'est sa démarche théorique qui est fausse ; Et il est très important pour l'élève de savoir si l'impossibilité où il se trouve à résoudre est due à une erreur de calcul ou une erreur de raisonnement.

Une façon simple de vérifier un calcul est de vérifier sa cohérence (si un élève trouve une distance terre-lune de 3cm, c'est qu'il y a un problème). Cette étape n'est pas anodine car beaucoup d'élève ne font pas de lien entre la réalité et un problème de math. Il se coupe alors d'une possibilité de vérification mais surtout d'un savoir pré-acquis qui pourrait servir de base à une connaissance théorique plus globale. Par exemple dans l'apprentissage de la résolution d'une équation du premier degré les élèves savent tous que si trois pains au chocolat valent 2,4 euros, le prix d'un pain au chocolat est 2,4 divisé par 3.

-Elle est difficile à mettre en œuvre car l'être humain n'est pas une machine. Plus le temps passe et plus l'émotionnel vient perturber la résolution. Cet émotionnel peut-être positif mais dans la plupart des cas il est principalement composé de l'anxiété de ne pas trouver et l'élève multiplie les erreurs et préfère s'arrêter. L'enseignant a encore ici un rôle important à jouer. Il va soutenir l'élève et parfois lui donner une piste pour l'encourager à continuer.

Motivation

J'aimerais parler ici de la motivation nécessaire à un élève en difficulté scolaire. Vous pourriez vous la représenter comme l'énergie nécessaire pour sortir une bille du fond d'un creux. Pour sortir du trou il faut fournir une énergie minimale sinon la bille retombe au fond du trou.

Un élève en échec a une perception de soi (dans le domaine scolaire) peu flatteuse, pour sortir de cet état il va souvent devoir changer ses habitudes scolaires du tout au tout et fournir beaucoup plus d 'énergie que ses coreligionnaires. Il va devoir être attentif en cours et être actif, il va devoir apprendre à travailler et à se concentrer, son cerveau va être sollicité de manière différente (il va devoir « muscler » des parties jusque là atrophiés), il va surtout devoir lâcher une représentation de lui dans le groupe auquel il appartient pour une autre image, sans connaître à l'avance le succès qu'elle peut rencontrer.

L'élève en échec est souvent persuadé qu'il ne peut pas réussir. Il a déjà souvent fournit des efforts pour s'en sortir mais ce qu'il ne sait pas, c'est que la progression n'est pas linéaire . Si il ne fournit pas un effort minimal durant un temps minimal, la bille retombe au fond du trou et l'élève s'épuise. Un peu comme certaines réactions chimiques qui pour se faire ont besoin d'une quantité d'énergie minimale pendant un temps donné. L'élève ne sachant pas, par expérience, qu'il faut fournir une telle énergie pour réussir, ne la fournira pas. Il fournira l'effort demandé par les enseignants, sans penser que cela puisse être insuffisant et ne comprendra pas qu'il ne réussisse pas mieux alors qu'il fait «grosso modo» ce qu'on lui demande. La perception qu'avait de lui-même l'élève est donc confirmée et ne permet plus de fournir l'effort nécessaire pendant le temps suffisant.

Il faut se « dépasser ». Se dépasser veut dire aller au-delà de ce qui est attendu, possible ou imaginable c'est à dire changer d'état, s'inventer ou encore changer de creux. Car ce que l'on connaît c'est l'état ou le creux dans lequel on est. Sortir du creux c'est aller vers un état que l'on ne connaît pas, c'est réellement s'inventer et c'est probablement ce qui explique la difficulté que l'on a à fournir cette énergie. « Vaut mieux un tien que deux tu l'auras » ; si un creux est un endroit stable c'est parce qu'il nous « identifie », on s'y reconnaît et il nous donne une identité.

La motivation doit donc être importante et c'est là, à mon avis, que l'intervention de l'enseignant en soutien scolaire est déterminante. Son rôle est de soutenir l'effort de l'élève bien plus que d'expliquer un point de cours. Soutenir quelqu'un est un acte complexe, en effet en soutien scolaire c'est l'interaction entre l'élève et l'enseignant qui est importante. (Par exemple un enseignant qui n'est pas fier de lui-même ne peut pas apprendre à réussir à un élève).

L'enseignant

C'est la confrontation aux difficultés qui permet l'évolution. En Mathématiques la confrontation des élèves à la difficulté de résolution d'un exercice est essentielle pour développer et mettre en place leurs propres architectures neuronales aptes à la résolution de problèmes.

Mais l'être humain est fragile, et cette confrontation peut-être trop difficile et amener un blocage ce qui peut correspondre en fait à une régression (en vélo si l'on n'avance pas on tombe).

Nous avions vu précédemment qu'il n'était pas facile pour l'élève de rester à chercher la solution d'un problème qu'il ne sait pas directement résoudre. La plus grande difficulté à laquelle l'élève est confrontée est une difficulté d'ordre psychologique, il ne supporte pas d'être, de fait, confronté à son incapacité.

L'élève se trompe en fait d'objectif, l'important n'est pas la solution de l'exercice mais de chercher à y parvenir. La résolution de l'exercice n'a d'importance (et elle est essentielle, c'est une condition sine qua none du développement futur) que pour augmenter la confiance en soi de l'élève. Cette confiance est la base sur laquelle s'appuieront l'enseignant et l'étudiant pour continuer à progresser.

Le rôle de l'enseignant est ici double :

-proposer des exercices qui permettent à l'élève de hausser son niveau sans pour autant le bloquer.

Il faut distinguer les exercices d'applications (qui permettent d'apprendre le cours en renforçant l'attention) et les exercices de réflexion (qui obligent à une utilisation plus abstraite de la logique).

-expliquer à l'élève que l'important pour lui est de chercher afin de mettre en place et développer des architectures neuronales particulières qui lui permettront d'être plus attentif, plus rigoureux... et de résoudre des problèmes qui pourront être autre que mathématiques. On peut lui donner l'exemple de l'enfant qui apprend à marcher. Il lui faudra du temps et de nombreuses chutes avant de développer une architecture neuronale apte à la marche.

L'élève sera alors plus patient, il se donnera du temps pour chercher et pourra enfin progresser.

Le rôle de l'enseignant dans ce cadre est un rôle d'accompagnateur attentif. Il doit expliquer ce nouvel objectif à l'élève et résister à la tentation d'expliquer trop vite. L'enseignant doit toujours donner des explications a minima et garder à l'esprit que l'élève doit se confronter le plus possible à la difficulté afin de développer ses capacités et sa confiance en soi.

Ce rôle de l'enseignant est très complexe ; il demande beaucoup d'intuition et de psychologie.

Il faut s'effacer et en même temps être très présent dans notre volonté de soutenir l'élève. Il faut le laisser chercher et en même temps être attentif aux moments ou il «patine» pour pouvoir le relancer d'une légère poussée. Il faut savoir le laisser «patiner» pour qu'il s'énerve et l'aider à utiliser cette énergie.

Cette opération est très subtile car l'enseignant doit s'adapter à l'élève et à son évolution.

Les enseignants doivent donc se questionner sur la finalité et la nécessité de ce qu'ils font. Sans quoi ils ne réfléchiront pas aux « moyens » d'aider au mieux leurs élèves. Ils risquent de devenir des dispensateurs de techniques et passer à côté d'interactions riches d'enseignements pour eux et leurs étudiants

On le voit le travail de l'enseignant devient plus compliqué, plus subtil mais plus riche aussi, car c'est avec ce qu'il est, que l'enseignant interagit avec l'élève et que peut naître ou non, des capacités pour l'élève ainsi que pour l'enseignant.

Nicolas Lavoisier

Diplômé des Ecoles Polytechniques de Montréal et de Grenoble

Enseignant à l'association Start de soutien scolaire de Carpentras

50 rue Duplessis 84200 Carpentras

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